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因数分解③(置き換え)

更新日:2022年5月3日

因数分解③(置き換え)

         因数分解
  x^{2}+5x+4   \overrightarrow{\leftarrow}  (x+1)(x+4)
          展開
 
因数分解の公式
1 ma+mb=m(a+b) 
2 a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}

   a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}
3 a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)
4 x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 
5 acx^{2}+(ad+bc)x+bd
   =(ax+b)(cx+d)

6 a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca
   =(a+b+c)^{2}
7 a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}
   a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}
8 a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})
   a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})
9 a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc
 =(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)
※展開の公式を覚えていれば、特に新しい
 ものが出た、というわけではないですよ。
※5は「たすき掛け」という方法を使うので
 覚える必要はありません。
 6~9を確実に覚えてください。
 
因数分解の解き方(解法パターン)
①共通因数でくくる。
②公式利用
③たすき掛け
④おなじものがあれば置き換える←今回はこれ
⑤複2次式・・・複2次式は下の2パターンのみ
 (ⅰ)置き換えると普通に因数分解できる。
 (ⅱ)無理やり(\quad \quad)^{2}-(\quad \quad)^{2}をつくる。
⑥次数に注目
 (ⅰ)次数が異なるとき
  →最も次数の低い文字でくくる。
   くくられたものが共通因数になる。
 (ⅱ)次数が同じとき
  →どれか1つの文字で降べきの順に整理。
   その後、たすき掛けか共通因数の2択
 
 

確認問題

次の式を因数分解せよ。

  1. (x+y)^{2}-5(x+y)-14
  2. (x+y)^{2}-16
  3. (x^{2}-x)(x^{2}-x-1)-6

※解法パターンの

④おなじものがあれば置き換える

の練習です。

 ポイント!「ぱっ」と見て同じものがあったら必ず置き換えます。問題をつくった人も置き換えてほしい!」ので、分かるようにしてるんです。

解答・解説

 1. (x+y)^{2}-5(x+y)-14

    x+y=Aとおく。

    そうすると、

    A^{2}-5A-14

        =(A-7)(A+2)

         Aをもとにもどすと

    =\boldsymbol{(x+y-7)(x+y+2)} 

 

 2. (x+y)^{2}-16

    x+y=Aとおく。

    そうすると、

    A^{2}-16

        =(A-4)(A+4)

         Aをもとにもどすと

    =\boldsymbol{(x+y-4)(x+y+4)} 

 

 3. (x^{2}-x)(x^{2}-x-1)-6

    x^{2}-x=Aとおく。

    そうすると、

    A(A-1)-6

        =A^{2}-A-6

        =(A-3)(A+2)

         Aをもとにもどすと

        =\boldsymbol{(x^{2}-x-3)(x^{2}-x+2)}

 

演習問題

 ※現在準備中です。しばらくお待ちください。

 

定期考査直前演習

 問題はこちらから。

 ※現在準備中です。しばらくお待ちください。