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因数分解④(複2次式)

更新日:2022年5月4日

因数分解④(複2次式)

         因数分解
  x^{2}+5x+4   \overrightarrow{\leftarrow}  (x+1)(x+4)
          展開
 
因数分解の公式
1 ma+mb=m(a+b) 
2 a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}

   a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}
3 a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)
4 x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 
5 acx^{2}+(ad+bc)x+bd
   =(ax+b)(cx+d)

6 a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca
   =(a+b+c)^{2}
7 a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}
   a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}
8 a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})
   a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})
9 a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc
 =(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)
※展開の公式を覚えていれば、特に新しい
 ものが出た、というわけではないですよ。
※5は「たすき掛け」という方法を使うので
 覚える必要はありません。
 6~9を確実に覚えてください。
 
因数分解の解き方(解法パターン)
①共通因数でくくる。
②公式利用
③たすき掛け
④おなじものがあれば置き換える
⑤複2次式・・・複2次式は下の2パターンのみ
 今回はこれ
 (ⅰ)置き換えると普通に因数分解できる。
 (ⅱ)無理やり(\quad \quad)^{2}-(\quad \quad)^{2}をつくる。
⑥次数に注目
 (ⅰ)次数が異なるとき
  →最も次数の低い文字でくくる。
   くくられたものが共通因数になる。
 (ⅱ)次数が同じとき
  →どれか1つの文字で降べきの順に整理。
   その後、たすき掛けか共通因数の2択
 
 

確認問題

次の式を因数分解せよ。

  1. x^{4}-x^{2}-6
  2. x^{4}+x^{2}+1
  3. a^{4}+4

※解法パターンの

⑤複2次式

の練習です。

 複2次式とは・・・x^{2}=Aとおくと、Aの2次式になる式のこと。
(例)x^{4}-10x^{2}+9
   x^{2}=Aとおくと
   A^{2}-10A+9と2次式になるので
   複2次式。
ちなみに、x^{4}-10x^{2}+9因数分解すると、\boldsymbol{(x+1)(x-1)(x+3)(x-3)} 

解答・解説

 1. x^{4}-x^{2}-6

    x^{2}=Aとおく。

    そうすると、

    A^{2}-A-6

        =(A-3)(A+2)

         Aをもとにもどすと

    =\boldsymbol{(x^{2}-3)(x^{2}+2)} 

 

 2. x^{4}+x^{2}+1

 POINTx^{2}=Aとおくと、A^{2}+A+1となり
因数分解できません。この時は、
(ⅱ)無理やり(\quad \quad)^{2}-(\quad \quad)^{2}をつくる
パターン確定です。

    x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}

    =(x^{2}+1)^{2}-x^{2}

       x^{2}+1=Aとおくと

        =A^{2}-x^{2}

        =(A+x)(A-x)

         Aをもとにもどすと、

        =(x^{2}+1+x)(x^{2}+1-x)

    =\boldsymbol{(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)} 

  ※答えは降べきの順にしましょう。

 

 3. a^{4}+4

    =a^{4}+4a^{2}+4-4a^{2}

    =(a^{2}+2)^{2}-4a^{2}

       a^{2}+2=Aとおくと

        =A^{2}-4a^{2}

        =(A+2a)(A-2a)

        Aをもとにもどすと、

        =(a^{2}+2+2a)(a^{2}+2-2a)

  =\boldsymbol{(a^{2}+2a+2)(a^{2}-2a+2)} 

 

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