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大学入試問題演習①【解答・解説】

高校数学 大学入試問題演習 数学Ⅰ 数学Ⅰ数と式

更新日：2023年12月24日

大学入試問題演習【解答・解説編】第１回

[１] 次の各式を因数分解せよ。

（１）x^{4}-x^{2}y^{2}-x^{2}+y^{2}

　　=-y^{2}(x^{2}-1)+x^{4}-x^{2}

      =-y^{2}(x^{2}-1)+x^{2}(x^{2}-1)

      =(x^{2}-1)(x^{2}-y^{2})

      =\boldsymbol{(x-1)(x+1)(x+y)(x-y)}

 

 次数チェック！xは次数4（x^{4}があるから）yは次数2（y^{2}があるから）なので次数の低い文字yでまとめる。

 

（２）x^{4}+x^{2}+1

　　=x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}

      =(x^{2}+1)^{2}-x^{2}

      =(x^{2}+1-x)(x^{2}+1-x)

      =\boldsymbol{(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)}

 

 複２次式複２次式の解法は２パターンでした。そのうちの一つです

 

[2] x^{2}+y^{2}=15,xy=-3のとき,

　x^{3}+y^{3}の値を求めよ。

 

　x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xyより

　15=(x+y)^{2}-2･(-3)

　(x+y)^{2}=9

　\boldsymbol{x+y=\pm3}

　x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})より

　x^{3}+y^{3}=\pm3\times\{15-(-3)\}

　　　　　 =\pm3\times18

　　　　　 =\boldsymbol{\pm54}

 

[３] {\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}-1}}の整数部分をa,小数部分を

　　bとする。

（１）aを求めよ。

（２）b^{2}+b+1の値を求めよ。

 

（１） {\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}-1}}={\displaystyle\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}}

　　　　　　 　 =\sqrt{2}+1

　　　ここで\sqrt{1}\lt\sqrt{2}\lt\sqrt{4}より

　　　1\lt\sqrt{2}\lt2なので

　　　2\lt\sqrt{2}+1\lt3だから

　　　{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}-1}}の整数部分aは \boldsymbol{2}

（２）（１）より整数部分は 2なので、

　　　　小数部分bは、

　　　 b=\sqrt{2}+1-a

　　　   =\sqrt{2}+1-2

　　　　  =\sqrt{2}-1

　　　よって

　　　　b^{2}+b+1=b(b+1)+1

　　　　　　　　　 =(\sqrt{2}-1)\sqrt{2}+1

　　　　　　　　　 =2-\sqrt{2}+1

　　　　　　　　　 =\boldsymbol{3-\sqrt{2}}

 

[４] 次の式を計算せよ。

{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}}

={\displaystyle\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\{\sqrt{5}+(\sqrt{3}+\sqrt{2})\}\{\sqrt{5}-(\sqrt{3}＋\sqrt{2})\}}-\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\{\sqrt{5}-(\sqrt{3}＋\sqrt{2})\}\{\sqrt{5}+(\sqrt{3}+\sqrt{2})\}}}

={\displaystyle\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{2}-(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}}}

={\displaystyle\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{5-(3+2\sqrt{6}＋2)}}

={\displaystyle\frac{-2\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{-2\sqrt{6}}}

={\displaystyle\frac{\sqrt{3}＋\sqrt{2}}{\sqrt{6}}}

={\displaystyle\frac{\sqrt{18}＋\sqrt{12}}{6}}

=\boldsymbol{\displaystyle\frac{3\sqrt{2}＋2\sqrt{3}}{6}}

 

 分母の組み合わせに注目！分母の\sqrt{}　の中の数字が、５と３と２なのでこの数字で足し算の数式をつくります。
5=3＋2なので、５と３、２の組み合わせ、と
いう事がわかります。
この方法で仲間を見つけると必ずうまくいきます。