ねこの数学

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（数学Ⅰ：数と式②）演習問題【解答】

数学Ⅰ 数学Ⅰ数と式 高校数学

更新日：2023年12月31日

数学Ⅰ　数と式

演習問題（第２回）【解答編】

[１] 次の式を計算せよ。

（１）(x＋3)^{2}

       =\boldsymbol{x^{2}+6x+9}

 

（２）(5x+4)(5x-4)

       =\boldsymbol{25x^{2}-16}

 

（３）(x-3)(x+8)

       =\boldsymbol{x^{2}+5x-24}

 

（４）(2x+5)^{2}

       =\boldsymbol{4x^{2}+20x+25}

 

（５）(4a-7b)^{2}

       =\boldsymbol{16a^{2}-56ab+49^{2}}

 

（６）(x+5)(x-5)

       =\boldsymbol{x^{2}-25}

 

（７）(6x-y)(6x+y)

       =\boldsymbol{36x^{2}-y^{2}}

 

（８）(x-2)(x-7)

       =\boldsymbol{x^{2}-9x+14}

 

（９）(a-4b)(a-7b)

       =\boldsymbol{a^{2}-11ab+28b^{2}}

 

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（数学Ⅰ：数と式②）演習問題【問題】

数学Ⅰ 数学Ⅰ数と式 高校数学

更新日：2023年12月23日

数学Ⅰ　数と式

演習問題（第２回）【問題編】

[１] 次の式を計算せよ。

（１）(x＋3)^{2}

 

 

 

（２）(5x+4)(5x-4)

 

 

 

（３）(x-3)(x+8)

 

 

 

（４）(2x+5)^{2}

 

 

 

（５）(4a-7b)^{2}

 

 

 

（６）(x+5)(x-5)

 

 

 

（７）(6x-y)(6x+y)

 

 

 

（８）(x-2)(x-7)

 

 

 

（９）(a-4b)(a-7b)

 

 

 

【解答・解説はこちら】

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（数学Ⅰ：数と式①）演習問題【解答】

数学Ⅰ 数学Ⅰ数と式 高校数学

更新日：2023年12月24日

数学Ⅰ　数と式

演習問題（第１回）【問題編】

[１] 次の式を計算せよ。

（１）2a^{3}×4a^{2}

           =8a^{3+2}

         =\boldsymbol{8a^{5}}

 

（２）(-3x^{2}y)^{3}

           =(-3)^{3}(x^{2})^{3}y^{3}

         =\boldsymbol{-27x^{6}y^{3}}

 

（３）(-a^{2}b)^{2}(a^{3}b^{2})

           =(-a^{2})^{2}b^{2}×a^{3}b^{2}

           =a^{4}b^{2}×a^{3}b^{2}

         =\boldsymbol{a^{7}b^{4}}

 

[２] 次の式を展開せよ。

（１）4x^{2}(2x^{2}-3x＋5)

         =\boldsymbol{8x^{2}-12x^{3}+20x^{2}}

 

（２）(2x^{2}-3x-1)(-3x^{2})

         =\boldsymbol{-6x^{4}+9x^{3}+3x^{2}}

 

（３）-2x(3x^{2}-2x＋4)

         =\boldsymbol{-6x^{3}+4x^{2}-8x}

 

[３] 次の式を展開せよ。

（１）(2x-1)(4x^{2}＋3)

           =8x^{3}+6x-4x^{2}-3

         =\boldsymbol{8x^{3}-4x^{2}+6x-3}

 

（２）(x^{2}-ax+1)(x＋a)

           =x^{3}+ax^{2}-ax^{2}-a^{2}x+x+a

         =\boldsymbol{x^{3}+(1-a^{2})x+a}

 

（３）(x^{2}-2xy＋3y^{2})(x＋3y)

           =x^{3}+3x^{2}y-2x^{2}y-6xy^{2}+3xy^{2}+9y^{3}

         =\boldsymbol{x^{3}+x^{2}y-3xy^{2}+9y^{3}}

 

（４）(x^{3}-2x+3)(3x＋2-x^{2})

           =3x^{4}+2x^{3}-x^{5}-6x^{2}-4x+2x^{3}+9x+6-3x^{2}

         =\boldsymbol{-x^{5}+3x^{4}+4x^{3}-9x^{2}+5x+6}

 

（５）(x^{2}-3x＋1)(x^{2}-1)

           =x^{4}-x^{2}-3x^{3}+3x+x^{2}-1

         =\boldsymbol{x^{4}-3x^{3}+3x-1}

 

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大学入試問題演習①【解答・解説】

高校数学 大学入試問題演習 数学Ⅰ 数学Ⅰ数と式

更新日：2023年12月24日

大学入試問題演習【解答・解説編】第１回

[１] 次の各式を因数分解せよ。

（１）x^{4}-x^{2}y^{2}-x^{2}+y^{2}

　　=-y^{2}(x^{2}-1)+x^{4}-x^{2}

      =-y^{2}(x^{2}-1)+x^{2}(x^{2}-1)

      =(x^{2}-1)(x^{2}-y^{2})

      =\boldsymbol{(x-1)(x+1)(x+y)(x-y)}

 

 次数チェック！xは次数4（x^{4}があるから）yは次数2（y^{2}があるから）なので次数の低い文字yでまとめる。

 

（２）x^{4}+x^{2}+1

　　=x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}

      =(x^{2}+1)^{2}-x^{2}

      =(x^{2}+1-x)(x^{2}+1-x)

      =\boldsymbol{(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)}

 

 複２次式複２次式の解法は２パターンでした。そのうちの一つです

 

[2] x^{2}+y^{2}=15,xy=-3のとき,

　x^{3}+y^{3}の値を求めよ。

 

　x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xyより

　15=(x+y)^{2}-2･(-3)

　(x+y)^{2}=9

　\boldsymbol{x+y=\pm3}

　x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})より

　x^{3}+y^{3}=\pm3\times\{15-(-3)\}

　　　　　 =\pm3\times18

　　　　　 =\boldsymbol{\pm54}

 

[３] {\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}-1}}の整数部分をa,小数部分を

　　bとする。

（１）aを求めよ。

（２）b^{2}+b+1の値を求めよ。

 

（１） {\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}-1}}={\displaystyle\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}}

　　　　　　 　 =\sqrt{2}+1

　　　ここで\sqrt{1}\lt\sqrt{2}\lt\sqrt{4}より

　　　1\lt\sqrt{2}\lt2なので

　　　2\lt\sqrt{2}+1\lt3だから

　　　{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}-1}}の整数部分aは \boldsymbol{2}

（２）（１）より整数部分は 2なので、

　　　　小数部分bは、

　　　 b=\sqrt{2}+1-a

　　　   =\sqrt{2}+1-2

　　　　  =\sqrt{2}-1

　　　よって

　　　　b^{2}+b+1=b(b+1)+1

　　　　　　　　　 =(\sqrt{2}-1)\sqrt{2}+1

　　　　　　　　　 =2-\sqrt{2}+1

　　　　　　　　　 =\boldsymbol{3-\sqrt{2}}

 

[４] 次の式を計算せよ。

{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}}

={\displaystyle\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\{\sqrt{5}+(\sqrt{3}+\sqrt{2})\}\{\sqrt{5}-(\sqrt{3}＋\sqrt{2})\}}-\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\{\sqrt{5}-(\sqrt{3}＋\sqrt{2})\}\{\sqrt{5}+(\sqrt{3}+\sqrt{2})\}}}

={\displaystyle\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{2}-(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}}}

={\displaystyle\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{5-(3+2\sqrt{6}＋2)}}

={\displaystyle\frac{-2\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{-2\sqrt{6}}}

={\displaystyle\frac{\sqrt{3}＋\sqrt{2}}{\sqrt{6}}}

={\displaystyle\frac{\sqrt{18}＋\sqrt{12}}{6}}

=\boldsymbol{\displaystyle\frac{3\sqrt{2}＋2\sqrt{3}}{6}}

 

 分母の組み合わせに注目！分母の\sqrt{}　の中の数字が、５と３と２なのでこの数字で足し算の数式をつくります。
5=3＋2なので、５と３、２の組み合わせ、と
いう事がわかります。
この方法で仲間を見つけると必ずうまくいきます。

 

（数学Ⅰ：数と式①）演習問題【問題】

数学Ⅰ 数学Ⅰ数と式 高校数学

更新日：2023年12月24日

数学Ⅰ　数と式

演習問題（第１回）【問題編】

[１] 次の式を計算せよ。

（１）2a^{3}×4a^{2}

 

 

 

 

（２）(-3x^{2}y)^{3}

 

 

 

 

（３）(-a^{2}b)^{2}(a^{3}b^{2})

 

 

 

 

[２] 次の式を展開せよ。

（１）4x^{2}(2x^{2}-3x＋5)

 

 

 

 

（２）(2x^{2}-3x-1)(-3x^{2})

 

 

 

 

（３）-2x(3x^{2}-2x＋4)

 

 

 

 

[３] 次の式を展開せよ。

（１）(2x-1)(4x^{2}＋3)

 

 

 

 

（２）(x^{2}-ax+1)(x＋a)

 

 

 

 

（３）(x^{2}-2xy＋3y^{2})(x＋3y)

 

 

 

 

（４）(x^{3}-2x+3)(3x＋2-x^{2})

 

 

 

 

（５）(x^{2}-3x＋1)(x^{2}-1)

 

 

 

 

 

 

【解答・解説はこちら】

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大学入試問題演習①【問題】

高校数学 大学入試問題演習

更新日：2023年12月24日

大学入試問題演習（第１回）【問題編】

[１] 次の各式を因数分解せよ。

（１）x^{4}-x^{2}y^{2}-x^{2}+y^{2}

 

 

 

 

 

 

（２）x^{4}+x^{2}+1

 

 

 

 

 

 

[２] x^{2}+y^{2}=15,xy=-3のとき,

　x^{3}+y^{3}の値を求めよ。

 

 

 

 

 

 

 

[３] {\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}-1}}の整数部分をa,小数部分を

　　bとする。

（１）aを求めよ。

（２）b^{2}+b+1の値を求めよ。

 

 

 

 

 

 

 

[４] 次の式を計算せよ。

{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【解答・解説はこちら】

 

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因数分解⑤（次数に注目。次数が異なる場合）

高校数学

更新日：2022年6月4日

因数分解（次数に注目･･･次数が異なる場合）

　　　　　　　　　因数分解
　　x^{2}+5x+4　　 \overrightarrow{\leftarrow}　　(x+1)(x+4)
　　　　　　　　　　展開
 
因数分解の公式
1 ma+mb=m(a+b) 
2 a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}
   a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}
3 a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)
4 x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 
5 acx^{2}+(ad+bc)x+bd
   =(ax+b)(cx+d)
6 a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca
   =(a+b+c)^{2}
7 a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}
   a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}
8 a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})
   a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})
9 a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc
　=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)
※展開の公式を覚えていれば、特に新しい
　ものが出た、というわけではないですよ。
※５は「たすき掛け」という方法を使うので
　覚える必要はありません。
　６～９を確実に覚えてください。
 
因数分解の解き方（解法パターン）
①共通因数でくくる。
②公式利用
③たすき掛け
④おなじものがあれば置き換える
⑤複2次式･･･複2次式は下の２パターンのみ
　今回はこれ
　(ⅰ)置き換えると普通に因数分解できる。
　(ⅱ)無理やり(\quad \quad)^{2}-(\quad \quad)^{2}をつくる。
⑥次数に注目　今回はこれ
　(ⅰ)次数が異なるとき　
　　→最も次数の低い文字でくくる。
　　　くくられたものが共通因数になる。
　(ⅱ)次数が同じとき
　　→どれか１つの文字で降べきの順に整理。
　　　その後、たすき掛けか共通因数の2択
 
 

確認問題

次の式を因数分解せよ。

  1. x^{2}+xy+x+3y-6
  2. ab^{2}-b^{2}+a-1

 

 ポイント！複雑な式の因数分解は次数に注目。最も次数の低い文字でまとめます。まとめられたものが必ず共通因数になる。

解答・解説

　１. x^{2}+xy+x+3y-6

 次数チェック！xは次数２（x^{2}があるから）yは次数1（xy,3yはyについて次数１）なので次数の低い文字yでまとめる。
下の解答では括られたx+3が共通因数になっていることがわかります。

　　 x^{2}+x-6+y(x+3)

　　 =(x+3)(x-2)+y(x+3)

       =(x+3)\{(x-2)+y\}

　　 =\boldsymbol{(x+3)(x+y-2)} 

 

　２. ab^{2}-b^{2}+a-1

　　 =a(b^{2}+1)-b^{2}-1

       =a(b^{2}+1)-(b^{2}+1)

　　 =\boldsymbol{(a-1)(b^{2}+1)} 

 

 注意！この問題はab^{2}-b^{2}+a-1=b^{2}(a-1)+a-1=(a-1)(b^{2}+1)
と解くことも可能ですが、解き方のルールを無視しています。解けるけど、こういうやり方をしている人は数学ができなくなるのでしないでください。ちゃんと解法のルールに従って解くように！

 

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