2022-05-04

因数分解④（複２次式）

高校数学

因数分解④（複２次式）

更新日：2022年5月4日

因数分解④（複２次式）

　　　　　　　　　因数分解
　　 $x^{2}+5x+4$ 　　 $\overrightarrow{\leftarrow}$ 　　 $(x+1)(x+4)$
　　　　　　　　　　展開

因数分解の公式
1 $ma+mb=m(a+b)$
2 $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$
$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$
3 $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
4 $x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
5 $acx^{2}+(ad+bc)x+bd$
$=(ax+b)(cx+d)$
6 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$
$=(a+b+c)^{2}$
7 $a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}$
$a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}$
8 $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
9 $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$
　 $=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$
※展開の公式を覚えていれば、特に新しい
　ものが出た、というわけではないですよ。
※５は「たすき掛け」という方法を使うので
　覚える必要はありません。
　６～９を確実に覚えてください。

因数分解の解き方（解法パターン）
①共通因数でくくる。
②公式利用
③たすき掛け
④おなじものがあれば置き換える
⑤複2次式･･･複2次式は下の２パターンのみ
　今回はこれ
　(ⅰ)置き換えると普通に因数分解できる。
　(ⅱ)無理やり $(\quad \quad)^{2}-(\quad \quad)^{2}$ をつくる。
⑥次数に注目
　(ⅰ)次数が異なるとき
　　→最も次数の低い文字でくくる。
　　　くくられたものが共通因数になる。
　(ⅱ)次数が同じとき
　　→どれか１つの文字で降べきの順に整理。
　　　その後、たすき掛けか共通因数の2択

確認問題

次の式を因数分解せよ。

$x^{4}-x^{2}-6$
$x^{4}+x^{2}+1$
$a^{4}+4$

※解法パターンの

⑤複２次式

の練習です。

複２次式とは・・・ $x^{2}=A$ とおくと、 $A$ の２次式になる式のこと。
（例） $x^{4}-10x^{2}+9$ は
　　　 $x^{2}=A$ とおくと
　　　 $A^{2}-10A+9$ と２次式になるので
　　　複２次式。
ちなみに、 $x^{4}-10x^{2}+9$ を因数分解すると、 $\boldsymbol{(x+1)(x-1)(x+3)(x-3)}$

解答・解説

　１. $x^{4}-x^{2}-6$

　　 $x^{2}=A$ とおく。

　　そうすると、

　　 $A^{2}-A-6$

$=(A-3)(A+2)$

$A$ をもとにもどすと、

　　 $=\boldsymbol{(x^{2}-3)(x^{2}+2)}$

　２. $x^{4}+x^{2}+1$

POINT $x^{2}=A$ とおくと、 $A^{2}+A+1$ となり
因数分解できません。この時は、
(ⅱ)無理やり $(\quad \quad)^{2}-(\quad \quad)^{2}$ をつくる
パターン確定です。

　　 $x^{4}$ $+2x^{2}$ $+1$ $-x^{2}$

　　 $=(x^{2}+1)^{2}-x^{2}$

$x^{2}+1=A$ とおくと

$=A^{2}-x^{2}$

$=(A+x)(A-x)$

$A$ をもとにもどすと、

$=(x^{2}+1+x)(x^{2}+1-x)$

　　 $=\boldsymbol{(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)}$

　　※答えは降べきの順にしましょう。

　３. $a^{4}+4$

　　 $=a^{4}$ $+4a^{2}$ $+4$ $-4a^{2}$

　　 $=(a^{2}+2)^{2}-4a^{2}$

$a^{2}+2=A$ とおくと

$=A^{2}-4a^{2}$

$=(A+2a)(A-2a)$

$A$ をもとにもどすと、

$=(a^{2}+2+2a)(a^{2}+2-2a)$

　　 $=\boldsymbol{(a^{2}+2a+2)(a^{2}-2a+2)}$

演習問題

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2022-05-03

因数分解③（置き換え）

高校数学

因数分解③（置き換え）

更新日：2022年5月3日

因数分解③（置き換え）

　　　　　　　　　因数分解
　　 $x^{2}+5x+4$ 　　 $\overrightarrow{\leftarrow}$ 　　 $(x+1)(x+4)$
　　　　　　　　　　展開

因数分解の解き方（解法パターン）
①共通因数でくくる。
②公式利用
③たすき掛け
④おなじものがあれば置き換える←今回はこれ
⑤複2次式･･･複2次式は下の２パターンのみ
　(ⅰ)置き換えると普通に因数分解できる。
　(ⅱ)無理やり $(\quad \quad)^{2}-(\quad \quad)^{2}$ をつくる。
⑥次数に注目
　(ⅰ)次数が異なるとき
　　→最も次数の低い文字でくくる。
　　　くくられたものが共通因数になる。
　(ⅱ)次数が同じとき
　　→どれか１つの文字で降べきの順に整理。
　　　その後、たすき掛けか共通因数の2択

確認問題

次の式を因数分解せよ。

$(x+y)^{2}-5(x+y)-14$
$(x+y)^{2}-16$
$(x^{2}-x)(x^{2}-x-1)-6$

※解法パターンの

④おなじものがあれば置き換える

の練習です。

ポイント！「ぱっ」と見て同じものがあったら必ず置き換えます。問題をつくった人も「置き換えてほしい！」ので、分かるようにしてるんです。

解答・解説

　１. $(x+y)^{2}-5(x+y)-14$

　　 $x+y=A$ とおく。

　　そうすると、

　　 $A^{2}-5A-14$

$=(A-7)(A+2)$

$A$ をもとにもどすと、

　　 $=\boldsymbol{(x+y-7)(x+y+2)}$

　２. $(x+y)^{2}-16$

　　 $x+y=A$ とおく。

　　そうすると、

　　 $A^{2}-16$

$=(A-4)(A+4)$

$A$ をもとにもどすと、

　　 $=\boldsymbol{(x+y-4)(x+y+4)}$

　３. $(x^{2}-x)(x^{2}-x-1)-6$

　　 $x^{2}-x=A$ とおく。

　　そうすると、

　　 $A(A-1)-6$

$=A^{2}-A-6$

$=(A-3)(A+2)$

$A$ をもとにもどすと、

$=\boldsymbol{(x^{2}-x-3)(x^{2}-x+2)}$

演習問題

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2022-04-10

因数分解②（たすき掛け）

高校数学

因数分解②（たすき掛け）

更新日：2022年4月10日

因数分解②（たすき掛け）

今回は高校の因数分解で重要な「たすき掛け」をします。

たくさん問題を解いて必ずマスターしてください。

　　　　　　　　　因数分解
　　 $x^{2}+5x+4$ 　　 $\overrightarrow{\leftarrow}$ 　　 $(x+1)(x+4)$
　　　　　　　　　　展開

因数分解の公式
1 $ma+mb=m(a+b)$
2 $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$
$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$
3 $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
4 $x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
5 $\boldsymbol{acx^{2}+(ad+bc)x+bd}$
$\boldsymbol{=(ax+b)(cx+d)}$
　↑今回はこのパターンを「たすき掛け」で
　　解きます。
6 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$
$=(a+b+c)^{2}$
7 $a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}$
$a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}$
8 $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
9 $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$
　 $=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$
※展開の公式を覚えていれば、特に新しい
　ものが出た、というわけではないですよ。
※５は「たすき掛け」という方法を使うので
　覚える必要はありません。
　６～９を確実に覚えてください。

因数分解の解き方（解法パターン）
①共通因数でくくる。
②公式利用
③たすき掛け←今回はこれ
④おなじものがあれば置き換える
⑤複2次式･･･複2次式は下の２パターンのみ
　(ⅰ)置き換えると普通に因数分解できる。
　(ⅱ)無理やり $(\quad \quad)^{2}-(\quad \quad)^{2}$ をつくる。
⑥次数に注目
　(ⅰ)次数が異なるとき
　　→最も次数の低い文字でくくる。
　　　くくられたものが共通因数になる。
　(ⅱ)次数が同じとき
　　→どれか１つの文字で降べきの順に整理。
　　　その後、たすき掛けか共通因数の2択

例題・解説

次の式を因数分解せよ。

　（例） $2x^{2}-5x-3$

　 $x^{2}$ の係数、定数項、 $x$ の係数

　の順に数字を書きます。

f:id:tocofree:20220410215310p:plain

　よって、答えは

　 $\boldsymbol{(2x+1)(x-3)}$ となります。

　※これを展開すると元の式

　　 $2x^{2}-5x-3$ になります。

確認問題

次の式を因数分解せよ。

$2x^{2}+7x+3$
$3x^{2}-10x-8$
$6x^{2}-11xy+4y^{2}$

※解法パターンの

③たすき掛け

の練習です。

解答・解説

　１. $2x^{2}+7x+3$

　　 $=\boldsymbol{(x+3)(2x+1)}$

　２. $3x^{2}-10x-8$

　　 $=\boldsymbol{(x-4)(3x+2)}$

　３. $6x^{2}-11xy+4y^{2}$

$=\boldsymbol{(2x-y)(3x-4y)}$

演習問題

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2022-03-27

因数分解①（基本編）

因数分解①

因数分解①

　　　　　　　　　因数分解
　　 $x^{2}+5x+4$ 　　 $\overrightarrow{\leftarrow}$ 　　 $(x+1)(x+4)$
　　　　　　　　　　展開

因数分解･･･いくつかの整式の積の形にすること。
$P=A\times B\times C$ のとき、 $A,B,C$ を $P$ の因数という。

因数分解の公式
1 $ma+mb=m(a+b)$
2 $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$
$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$
3 $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
4 $x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
5 $acx^{2}+(ad+bc)x+bd$
$=(ax+b)(cx+d)$
6 $\boldsymbol{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca}$
$\boldsymbol{=(a+b+c)^{2}}$
7 $\boldsymbol{a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}}$
$\boldsymbol{a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}}$
8 $\boldsymbol{a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$
$\boldsymbol{a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}$
9 $\boldsymbol{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}$
　 $\boldsymbol{=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)}$
※展開の公式を覚えていれば、特に新しい
　ものが出た、というわけではないですよ。
※５は「たすき掛け」という方法を使うので
　覚える必要はありません。
　６～９を確実に覚えてください。

因数分解の解き方（解法パターン）
①共通因数でくくる。
②公式利用
③たすき掛け
④おなじものがあれば置き換える
⑤複2次式･･･複2次式は下の２パターンのみ
　(ⅰ)置き換えると普通に因数分解できる。
　(ⅱ)無理やり $(\quad \quad)^{2}-(\quad \quad)^{2}$ をつくる。
⑥次数に注目
　(ⅰ)次数が異なるとき
　　→最も次数の低い文字でくくる。
　　　くくられたものが共通因数になる。
　(ⅱ)次数が同じとき
　　→どれか１つの文字で降べきの順に整理。
　　　その後、たすき掛けか共通因数の2択

確認問題

次の式を因数分解せよ。

$2x^{2}y+4xy^{2}$
$4x^{2}+4x+1$
$x^{2}-9y^{2}$
$x^{2}+7x+12$

※解法パターンの

①共通因数でくくる。
②公式利用

の練習です。

解答・解説

　１. $2x^{2}y+4xy^{2}$

　　 $\boldsymbol{=2xy(x+2y)}$

ポイント！共通因数が $2xy$ になります。
$2$ を忘れないように！！

　２. $4x^{2}+4x+1$

　　 $a^{2}+2ab+b^{2}$

　　 $\boldsymbol{=(2x+1)^{2}}$

　　 $=(a+b)^{2}$

　３. $x^{2}-9y^{2}$

　　 $a^{2}-b^{2}$

$=\boldsymbol{(x+3y)(x-3y)}$

$=(a+b)(a-b)$

　４. $x^{2}+7x+12$

$\boldsymbol{=(x+3)(x+4)}$

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2022-03-17

数学Ⅰ　整式の計算（展開）

整式の計算（展開）

更新日：2022年4月3日

整式の計算（展開）

乗法公式（展開公式）
1　 $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
　 $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
2　 $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
3　 $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$
4　 $(ax+b)(cx+d)$
　 $=acx^{2}+(ad+bc)x+bd$
5　 $\boldsymbol{(a+b+c)^{2}}$
　 $\boldsymbol{=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca}$
6　 $\boldsymbol{(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$
　 $\boldsymbol{(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}$
7　 $\boldsymbol{(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}}$
　 $\boldsymbol{(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}}$
8　 $\boldsymbol{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)}$
　 $\boldsymbol{=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}$
※５の式は $ca$ という項があって $ac$ になって
　いません。これは輪環の順（りんかんの
　じゅん）という整理の仕方です。

　※高校で大事になってくるのは、５、６、７、８
　　の公式です。

　　　　　　　　　　　展開
　　 $(x+1)(x+4)$ 　　 $\overrightarrow{\leftarrow}$ 　　 $x^{2}+5x+4$
　　　　　　　　　　因数分解

輪環の順･･･ $a,b,c$ が輪の形に循環する
　　　　　　ような整理の仕方。
文字の整理の仕方は
①アルファベット順
②輪環の順
③降べきの順
などがあるので確認をしておこう。

確認問題

次の式を展開せよ。

$(3x+1)^{3}$
$(2x-3)^{3}$
$(x+1)(x^{2}-x+1)$
$(x-3)(x^{2}+3x+9)$
$(a+b+1)^{2}$

解答・解説

　１. $(3x+1)^{3}$

　　 $(a+b)^{3}$

　　 $=(3x)^{3}+3(3x)^{2}(1)+3(3x)(1)^{2}+(1)^{3}$

　　　　 $a^{3}\quad\quad+3a^{2}b\quad\quad+3ab^{2}\quad\quad+b^{3}$
$\boldsymbol{=27x^{3}+27x^{2}+9x+1}$

ポイント！

※青字は公式ですね。公式の $a$ の部分が $3x$ に
　 $b$ の部分が $1$ になっていることがわかりま
　す。こんな感じで、公式を覚えきれていな
　い人は、問題を解くときに下に公式を書い
　てみることをおススメします。

　２. $(2x-3)^{3}$

　　 $(a-b)^{3}$

　　 $=(2x)^{3}-3(2x)^{2}(3)+3(2x)(3)^{2}-(3)^{3}$

　　　　 $a^{3}\quad\quad-3a^{2}b\quad\quad+3ab^{2}\quad\quad-b^{3}$
$\boldsymbol{=8x^{3}-36x^{2}+54x-27}$

　３. $(x+1)(x^{2}-x+1)$

　　 $(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

$=x^{3}+1^{3}=$ $\boldsymbol{x^{3}+1}$

$=a^{3}+b^{3}$

　４. $(x-3)(x^{2}+3x+9)$

　　 $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

$=x^{3}-3^{3}=$ $\boldsymbol{x^{3}-27}$

$=a^{3}-b^{3}$

　５. $(a+b+1)^{2}$

$(a+b+c)^{2}$

$=a^{2}+b^{2}+1^{2}+2ab+2b･1+2･1･a$

$=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$

　 $\boldsymbol{=a^{2}+b^{2}+1+2ab+2b+2a}$

　（個人的には $a^{2}+b^{2}+2ab+2a+2b+1$
　　　と降べきの順に並べかえることをおススメ
　　　します。）

演習問題

tocofree.hatenablog.com

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2022-03-16

数学Ⅰ　整式の計算（指数法則）

整式の計算（指数法則）

更新日：2022年4月3日

整式の計算（指数法則）

1 $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$
2 $(a^{m})^{n}=a^{m\times n}$
3 $(ab)^{m}=a^{m}b^{m}$
4 $a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$
　※高校１年生で化学を勉強している人は、
　 $a^{0}=1$ や
　 $a^{-m}=\dfrac{1}{a^{m}}$ を
　使う可能性があるのであわせて覚えて
　おこう。

確認問題

次の計算をせよ。

$a^{3}\times a^{4}$
$(a^{3})^{4}$
$(a^{2}b)^{3}$
$a^{7}\div a^{3}$

解答・解説

　１. $a^{3}\times a^{4}=a^{3+4}=$ $\boldsymbol{a^{7}}$

　　　 $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ の公式を利用。

　２. $(a^{3})^{4}=a^{3\times 4}=$ $\boldsymbol{a^{12}}$

　　　 $(a^{m})^{n}=a^{m\times n}$ の公式を利用。

　３. $(a^{2}b)^{3}=(a^{2})^{3}b^{3}=a^{2\times 3}b^{3}=$ $\boldsymbol{a^{6}b^{3}}$

　　　 $(ab)^{m}=a^{m}b^{m}$ と $(a^{m})^{n}=a^{m\times n}$ の
　　　公式を利用。

　４. $a^{7}\div a^{3}=a^{7-3}=$ $\boldsymbol{a^{4}}$

　　　 $a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$ の公式を利用。

演習問題

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2022-03-06

数学Ⅰ　整式の計算（次数、降べきの順）

整式の計算（次数、降べきの順）

更新日：2022年4月3日

整式の計算（次数、降べきの順）

高校数学の一番初めに習う内容です。

単項式･･･数やいくつかの文字を掛け合わせた
　　　　式のこと

　　　（例） $5ab,3x^{2}y$ など

多項式･･･単項式の和として表された式のこと

　　　（例） $5ab+3a+2b$
　　　　単項式 $5ab$ と $3a$ と $2b$ の和に
　　　　なっているので多項式。

係数･･･着目した文字以外の部分

　　　（例） $5ab$
　　　　文字以外が $5$ なので係数は $5$ だけ
　　　　ど、” $a$ に着目して･･･”と問題文に書
　　　　いてあったら $a$ だけを文字と考える
　　　　ので、係数は $5b$ になります。

　　　” $a$ に着目したときの係数は･･･”や
　　　” $a$ についての係数は･･･”とテスト等では

　　　聞かれることがほとんどなので、この２つの
　　　言い方を覚えておこう。　

次数･･･掛け合わせた文字の個数 のこと。多項式の
　　　場合は各項の次数で最大のもの

　　　（例） $5ab$ の次数は $2$
　　　　もしこれが、” $a$ に着目したときの次数は、
　　　　と聞かれたら次数は $1$

　　　（例） $5ab+3a+2b$ の次数は $2$
　　　　これは $5ab$ が次数 $2$ 、 $3a$ が次数 $1$

　　　　 $2b$ が次数 $1$ なので、最大の $2$ がこの
　　　　整式の次数になる。

定数項･･･次数が０の部分

降べきの順･･･次数の高い（大きい）方から順に
　　　　　　並べること

　　　　（例） $2x+1+x^{3}-2x^{2}$ のとき、
　　　　　　 $2x$ は次数 $1$ 、 $1$ は次数 $0$ 、

　　　　　　 $x^{3}$ は次数 $3$ 、 $2x^{2}$ は次数 $2$ なので、
　　　　　　降べきの順にすると

　　　　　　 $x^{3}-2x^{2}+2x+1$ となる。

確認問題

$5x^{2}-2x+1$ は $x$ について何次の整式か。
$x^{3}-2xy^{4}+1$ は $[x$ ]， $[y$ ]， $[x$ と $y$ ]について何次式か。
$2x^{2}+4xy+y^{2}-2x+4y-5$ を $x$ について降べきの順に整理せよ。

解答・解説

　１.２次式

　　　　 $5x^{2}-2x+1$ の次数は $2$ なので $2$ 次式。

　　　　これは $5x^{2}$ が次数 $2$ 、 $-2x$ が次数 $1$ 、

　　　　 $1$ が次数 $0$ なので、最大の $2$ がこの整式の次数に
　　　　なる。

　２. $x$ について３次式

　　　　 $x^{3}-2xy^{4}+1$ は $x$ について考えると、
　　　　 $x^{3}$ は次数 $3$ 、 $-2xy^{4}$ は次数 $1$ 、
　　　　 $1$ が次数 $0$ なので、最大の $3$ がこの整式の次数に
　　　　なる。

　　　　 $x$ について、なので $x$ だけを文字とみて、
　　　　それ以外は文字として考えない。
　　 $y$ について４次式

　　　　 $x^{3}-2xy^{4}+1$ は $y$ について考えると、
　　　　 $x^{3}$ は次数 $0$ 、 $-2xy^{4}$ は次数 $4$ 、
　　　　 $1$ が次数 $0$ なので、最大の $4$ がこの整式の次数に
　　　　なる。

　　 $x$ と $y$ について５次式

　　　　 $x^{3}-2xy^{4}+1$ は $x$ と $y$ について考えると、
　　　　 $x^{3}$ は次数 $3$ 、 $-2xy^{4}$ は次数 $5$ 、
　　　　 $1$ が次数 $0$ なので、最大の $5$ がこの整式の次数に
　　　　なる。

　　　　 $x$ と $y$ について、なので $x$ と $y$ の両方を文字
　　　　とみて考える。

　３. $2x^{2}+2(2y-1)x+y^{2}+4y-5$

　　　 $x$ について、なので $x$ だけを文字とみて、
　　　　それ以外は文字として考えない。

演習問題

１　次の単項式の係数と次数をいえ。

(1)　 $-3a^{2}$

(2)　 $2x$

(3)　 $-x^{3}$

(4)　 $4ab^{2}$

演習問題解答

１　次の単項式の係数と次数をいえ。

(1)　 $-3a^{2}$

　　係数は $-3$ で次数は $2$

(2)　 $2x$

　　係数は $2$ で次数は $1$

(3)　 $-x^{3}$

　　係数は $-1$ で次数は $3$

(4)　 $4ab^{2}$

　　係数は $4$ で次数は $3$

定期考査直前演習

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