因数分解⑤（次数に注目。次数が異なる場合）

因数分解（次数に注目･･･次数が異なる場合）

更新日：2022年6月4日

因数分解（次数に注目･･･次数が異なる場合）

　　　　　　　　　因数分解
　　 $x^{2}+5x+4$ 　　 $\overrightarrow{\leftarrow}$ 　　 $(x+1)(x+4)$
　　　　　　　　　　展開

因数分解の公式
1 $ma+mb=m(a+b)$
2 $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$
$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$
3 $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
4 $x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
5 $acx^{2}+(ad+bc)x+bd$
$=(ax+b)(cx+d)$
6 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$
$=(a+b+c)^{2}$
7 $a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}$
$a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}$
8 $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
9 $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$
　 $=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$
※展開の公式を覚えていれば、特に新しい
　ものが出た、というわけではないですよ。
※５は「たすき掛け」という方法を使うので
　覚える必要はありません。
　６～９を確実に覚えてください。

因数分解の解き方（解法パターン）
①共通因数でくくる。
②公式利用
③たすき掛け
④おなじものがあれば置き換える
⑤複2次式･･･複2次式は下の２パターンのみ
　今回はこれ
　(ⅰ)置き換えると普通に因数分解できる。
　(ⅱ)無理やり $(\quad \quad)^{2}-(\quad \quad)^{2}$ をつくる。
⑥次数に注目　今回はこれ
　(ⅰ)次数が異なるとき　
　　→最も次数の低い文字でくくる。
　　　くくられたものが共通因数になる。
　(ⅱ)次数が同じとき
　　→どれか１つの文字で降べきの順に整理。
　　　その後、たすき掛けか共通因数の2択

確認問題

次の式を因数分解せよ。

$x^{2}+xy+x+3y-6$
$ab^{2}-b^{2}+a-1$

ポイント！複雑な式の因数分解は次数に注目。最も次数の低い文字でまとめます。まとめられたものが必ず共通因数になる。

解答・解説

　１. $x^{2}+xy+x+3y-6$

次数チェック！ $x$ は次数２（ $x^{2}$ があるから） $y$ は次数1（ $xy,3y$ は $y$ について次数１）なので次数の低い文字 $y$ でまとめる。
下の解答では括られた $x+3$ が共通因数になっていることがわかります。

　　 $x^{2}+x-6+$ $y$ $(x+3)$

　　 $=(x+3)(x-2)+y(x+3)$

$=(x+3)\{(x-2)+y\}$

　　 $=\boldsymbol{(x+3)(x+y-2)}$

　２. $ab^{2}-b^{2}+a-1$

　　 $=$ $a$ $(b^{2}+1)-b^{2}-1$

$=a(b^{2}+1)-(b^{2}+1)$

　　 $=\boldsymbol{(a-1)(b^{2}+1)}$

注意！この問題は $ab^{2}-b^{2}+a-1$ $=b^{2}(a-1)+a-1$ $=(a-1)(b^{2}+1)$
と解くことも可能ですが、解き方のルールを無視しています。解けるけど、こういうやり方をしている人は数学ができなくなるのでしないでください。ちゃんと解法のルールに従って解くように！

演習問題

　※現在準備中です。しばらくお待ちください。

定期考査対策

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